如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC的外接圆交于点D,N为BC延长线上一点,ND交△ABC的外接圆于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=DM•DN.

问题描述:

如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC的外接圆交于点D,N为BC延长线上一点,ND交△ABC的外接圆于点M.求证:

(1)DB=DC;
(2)DC2=DM•DN.

证明:(1)∵四点A、B、C、D共圆,∴∠EAD=∠BCD,∠DAC=∠DBC,
∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线,
∴∠EAD=∠DAC,
∴∠DBC=∠BCD.
∴DB=DC.
(2)连接BM,CM.
则∠DBM=∠DCM,∠CBM=∠CDM,
∴∠N=∠BCD-∠CDM=∠DBC-∠CBM=∠DBM=∠DCM,
又∵∠CDM公用,
∴△CDM∽△NDC.

CD
ND
=
DM
CD

∴DC2=DM•DN.
答案解析:(1)由于四点A、B、C、D共圆,可得∠EAD=∠BCD,∠DAC=∠DBC.由于AD是△ABC外角∠EAC的平分线,可得∠EAD=∠DAC,即可证明;
(2)连接BM,CM.可得∠DBM=∠DCM,∠CBM=∠CDM,再利用(1)和圆的性质可得∠N=∠DCM,即可证明△CDM∽△NDC.进而得出答案.
考试点:与圆有关的比例线段.
知识点:本题考查了四点共圆的性质、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质,考查了推理能力和辅助线的作法,属于中档题.