O是等边三角形ABC内的一点,角AOB=110,角BOC=X,点D是三角形ABC外的一点,且三角形ADC全等于三角形BOC,连接OD.(1)证明三角形COD是等边三角形(2)当X=150,判断三角形AOD的形状,并说明理由(3)当X为多少度时,三角形AOD是等腰三角形?

问题描述:

O是等边三角形ABC内的一点,角AOB=110,角BOC=X,点D是三角形ABC外的一点,且三角形ADC全等于三角形BOC,连接OD.
(1)证明三角形COD是等边三角形
(2)当X=150,判断三角形AOD的形状,并说明理由
(3)当X为多少度时,三角形AOD是等腰三角形?

证明:(1)∵∠BCA=60°,三角形ADC全等于三角形BOC ,∠BCO=∠ACD,
∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等边三角形
(2)答:当x=150°时,△AOD是直角三角形.
理由是:∵△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°,
即△AOD是直角三角形.
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∵∠AOD=360°-110°-60°-x=190°-x,∠ADO=x-60°,
∴190°-x=x-60°,
∴x=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.
∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-x+x-60°)=50°,
∴x-60°=50°,
∴x=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
∵190°-x=50°,
∴x=140°.
综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形