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求证：a2−bc(a+b)(a+c)+b2−ca(b+c)(b+a)=ab−c2(c+a)(c+b)

分类: 作业答案 • 2022-02-22 14:36:06
问题描述：

求证：

a2−bc
(a+b)(a+c)
+
b2−ca
(b+c)(b+a)
=
ab−c2
(c+a)(c+b)

答

证明：∵

a2−bc
(a+b)(a+c)
=
a2+ac−ac−bc
(a+b)(a+c)
=
a(a+c)−c(a+b)
(a+b)(a+c)
=
a
a+b
−
c
a+c
，
∴
b2−ca
(b+c)(b+a)
=
b
b+c
-
a
b+a
，
c2−ab
(c+a)(c+b)
=
c
c+a
-
b
b+c
，
∴左-右=
a2−bc
(a+b)(a+c)
+
b2−ca
(b+c)(b+a)
+
c2−ab
(c+a)(c+b)
=
a
a+b
−
c
a+c
+
b
b+c
-
a
b+a
+
c
c+a
-
b
b+c
=0，
∴等式成立．
答案解析：首先观察等式两边分式的结构，把
a2−bc
(a+b)(a+c)
转化成
a
a+b
−
c
a+c
形式，利用比差法进行解答即可证明．
考试点：分式的等式证明．
知识点：本题主要考查分式的等式证明的知识点，利用比差法解题是解答本题的关键，本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．

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