如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系?写出你的猜想并加以证明.
问题描述:
如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系?写出你的猜想并加以证明.
答
知识点:本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积,难度适中,关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明.
我的猜想是:PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF.理由如下:
连接AP,则S△PAC+S△CAB=S△PAB,
∵S△PAB=
AB•PD,S△PAC=1 2
AC•PE,S△CAB=1 2
AB•CF,1 2
又∵AB=AC,
∴S△PAC=
AB•PE,1 2
∴
AB•PD=1 2
AB•CF+1 2
AB•PE,1 2
即
AB(PE+CF)=1 2
AB•PD,1 2
∴PD=PE+CF.
答案解析:猜想:PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF.根据∵S△PAB=
AB•PD,S△PAC=1 2
AC•PE,S△CAB=1 2
AB•CF,S△PAC=1 2
AC•PE,1 2
AB•PD=1 2
AB•CF+1 2
AC•PE,即可求证.1 2
考试点:等腰三角形的性质;三角形的面积.
知识点:本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积,难度适中,关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明.