已知平面上的向量PA,PB满足|PA|2+|PB|2=4,|AB|=2,设向量PC=2PA+PB设向量|PC|则最小值已知平面上的向量PA,PB满足|PA|^2+|PB|^2=4,|AB|=2,设向量PC=2PA+PB设向量|PC|的最小值是2.怎么算.
问题描述：
已知平面上的向量PA,PB满足|PA|2+|PB|2=4,|AB|=2,设向量PC=2PA+PB设向量|PC|则最小值
已知平面上的向量PA,PB满足|PA|^2+|PB|^2=4,|AB|=2,设向量PC=2PA+PB设向量|PC|的最小值是2.怎么算.
答
设PA=a+bi,PB=c+di，其中a,b,c,d都是实数
那么a^2+b^2+c^2+d^2=4,(1)
|AB|=(a-c)^2+(b-d)^2=2(2)->2ac+2bd=a^2+b^2+c^2+d^2-2=2
那么|PC|^2=(2a+c)^2+(2b+d)^2
=4a^2+4ac+c^2+4b^2+4bd+d^2=4+4+3a^2+3b^2>=8
所以PC的最小值=2*根号2
答
AB=PB-PA
AB^2=(PB-PA)^2=PB^2+PA^2-2PB*PA
PB*PA=(1/2)(PB^2+PA^2-AB^2)
=(1/2)(|PA|^2+|PB|^2-|AB|^2)
=0
PC=2PA+PB
PC^2=(2PA+PB)^2=4PA^2+PB^2+4PA*PB=3|PA|^2+|PA|^2+|PB|^2
=3|PA|^2+4
|PC|^2=3|PA|^2+4>=4
|PC|>=2
|PC|的最小值是2