如图,为测量小河的宽度,先在河岸边任意取一点A,再在河的另一岸取两点B、C,测得∠ABC=45°,∠ACB=30°,量得BC长为20米.(1)求小河的宽度(使用计算器的地区,结果保留三位有效数字;不使用计算器的地区,结果保留根号);(2)请再设计一种测量河宽度的方案,画出设计草图并作简要说明.

问题描述:

如图,为测量小河的宽度,先在河岸边任意取一点A,再在河的另一岸取两点B、C,测得∠ABC=45°,∠ACB=30°,量得BC长为20米.

(1)求小河的宽度(使用计算器的地区,结果保留三位有效数字;不使用计算器的地区,结果保留根号);
(2)请再设计一种测量河宽度的方案,画出设计草图并作简要说明.

(1)过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中,∵∠ABC=45°,
∴BD=AD,
∵BC=20,
∴CD=BC-BD=20-AD,
在Rt△ACD中,∠ACD=30°,tan∠ACD=

AD
CD

∴AD=CDtan∠ACD,
即AD=
3
3
(20-AD),
∴AD=10(
3
-1)≈7.32(米).
答:小河的宽度约为7.32米;
(2)先取点A,测量得∠ABC=90°处取点B,然后取∠ACB=30°,量出BC的长度即可.
答案解析:(1)做AD⊥BC于D,设公共直角边为未知数,利用特殊的角的三角函数表示出组成BC的各边,相加等于BC的长度即可求得小河的宽度;
(2)取一点A,AB⊥BC,量取∠ACB=30°,再测量BC的长,则有AB=BC•tan30°.
考试点:解直角三角形的应用-方向角问题.
知识点:解此题的关键是把实际问题抽象到直角三角形中,利用公共边及特殊的三角函数求解.