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a>b>c ,a+b+c=1,a∧2+b∧2+c∧2=1,求证 1

分类: 作业答案 • 2022-02-19 17:31:59
问题描述：

a>b>c ,a+b+c=1,a∧2+b∧2+c∧2=1,求证 1

答

首先，如果a+b=0，那么a>b>c>=0，那么ab>0,ac>=0, bc>=0，因此
1=1^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=1+2ab+2ac+2bc>1，矛盾，所以有a+b>1，c其次，2(a^2+b^2)>(a+b)^2，也即2(1-c^2)>(1-c)^2，3c^2-2c-1-1/3-1/3，所以a+b=1-c由上，1因此 8/9

答

这样做：由a+b+c=1知（a+b+c）^2=1,展开得a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1,代入
a∧2+b∧2+c∧2=1得ab+bc+ca=0,又有a>b>c,知0=ab+bc+ca>ca+bc+cb=3bc,即
0>3bc,得b与c异号,又b>c 得b>0>c,即得1又有1-c^2=a^2+b^2>【(a+b)^2】/2=【（1-c）^2】/2,由平方差公式得：c>-1/3,代入原式a+b+c=1即证a+b又c>-1/3,即c^2又c^2>0,所以a^2+b^2过程不太详尽,你自己整理一下就可以了.

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