已知圆C的圆心C在X轴正半轴上,半径为5,圆C被直线X-Y+3=0截得的弦长为2倍根号17(1)求圆C方程(2)设直线aX-Y+5=0与圆相交于A、B两点,求实数a的取值范围(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得A、B关于过点(-2,4)的直线l对称?若存在,求实数a的值;若不存在,请说明理由

问题描述:

已知圆C的圆心C在X轴正半轴上,半径为5,圆C被直线X-Y+3=0截得的弦长为2倍根号17
(1)求圆C方程
(2)设直线aX-Y+5=0与圆相交于A、B两点,求实数a的取值范围
(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得A、B关于过点(-2,4)的直线l对称?若存在,求实数a的值;若不存在,请说明理由

一楼二、三问写错了。。。。
(1)设⊙C的方程为(x-m)2+y2=25(m>0),由题意设|m+32=25-17m>0,
解得 m=1.故⊙C的方程为(x-1)2+y2=25.
(2)由题设知 |a+5|a2+1<5,故12a2-5a>0,所以,a<0,或a>5/12.
故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(5/12,+∞).
(3)设存在实数a,使得A,B关于l对称.∴PC⊥AB,又 a<0,或a>5/12,
即 a•(-4/3)=-1a<0或a>5/12,∴a=3/4,
∴存在实数a=3/4,满足题设.

第一个问题:
∵⊙C的圆心在x轴的正半轴上,∴可设点C的坐标为(m,0),且m>0.
令⊙C与直线x-y+3=0相交于E、F,过C作CG⊥EF交EF于G,则有:EG=EF/2=√17.
由点到直线的距离公式,有:|CG|=|m-0+3|/√(1+1)=(m+3)/√2.
由勾股定理,有:|CG|^2+|EG|^2=|CE|^2=25,
∴(m+3)^2/2+17=25,∴(m+3)^2=16,∴m+3=4,∴m=1.
∴⊙C的方程是:(x-1)^2+y^2=25.
第二个问题:
联立:(x-1)^2+y^2=25、ax-y+5=0,消去y,得:(x-1)^2+(ax+5)^2=25,
∴x^2-2x+1+a^2x^2+10ax+25=25,∴(1+a^2)x^2+10ax+1=0.
∵⊙C与直线ax-y+5=0相交,∴(1+a^2)x^2+10ax+1=0有两不等实数根,
∴判别式=100a^2-4(1+a^2)>0,∴25a^2-1-a^2>0,∴24a^2>1,∴a^2>1/24,
∴a<-1/√24=-√6/12,或a>√6/12.
∴实数a的取舍范围是(-∞,-√6/12)∪(√6/12,+∞).
第三个问题:
设存在满足条件的a.
令ax-y+5=0中的y=0,得:x=-5/a,∴直线ax-y+5=0与x轴的交点坐标为(-5/a,0).
令ax-y+5=0中的x=0,得:y=5,∴直线ax-y+5=0与y轴的交点坐标为(0,5).
∴AB的斜率=(5-0)/(0+5/a)=a.
∵A、B关于直线 l 对称,∴直线 l 是AB的垂直平分线.
显然,点C(1,0)在AB的垂直平分线上,∴(-2,4)、(1,0)的连线⊥AB,
∴[(0-4)/(1+2)]a=-1,∴a=-3/4.
∴满足条件的a值是:-3/4.