已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.(1)若|AF|=4,求点A的坐标;(2)若直线l的倾斜角为45°,求线段AB的长.

问题描述:

已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.

(1)若|AF|=4,求点A的坐标;
(2)若直线l的倾斜角为45°,求线段AB的长.

由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0).(2分)设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由抛物线的定义可知,|AF|=x1+p2,从而x1=3.代入y2=4x,解得y1=±23.∴点A的坐标为(3,23)或(3,-23).(6分)...
答案解析:(1)由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知,|AF|=x1+

p
2
,从而x1=3.由此能得到点A的坐标.
(2)直线l的方程为y=x-1.与抛物线方程联立,得
y=x−1
y2=4x
,整理得x2-6x+1=0,其两根为x1,x2,且x1+x2=6.由抛物线的定义可知线段AB的长.
考试点:直线与圆锥曲线的综合问题.

知识点:本题考查直线和抛物线的位置关系,解题时要认真审题,合理地进行等价转化,注意抛物线性质的合理运用.