在三角形ABC中,AB=2,AC=√2BC,求三角形ABC的面积的最大值 你是怎么想到用圆来解的啊?能否说说你的思路呢?
问题描述：
在三角形ABC中,AB=2,AC=√2BC,求三角形ABC的面积的最大值 你是怎么想到用圆来解的啊?
能否说说你的思路呢?
答
AC-b AB-c BC-a
c=2,b=√2a
c^2=b^2+a^2-2abcosC=3a^2-2√2a^2cosC=(3-2√2cosC)a^2
4=(3-2√2cosC)a^2
S=absinC/2=√2a^2sinC/2=2√2sinC/(3-2√2cosC)
sinC/(3-2√2cosC)最大时，S最大
f(C)=sinC/(3-2√2cosC)
f'(C)=[cosC(3-2√2cosC)-2√2sinCcosC]/(3-2√2cosC)^2=0
3-2√2cosC-2√2sinC=0
3=4sin(C+π/4)
C=arcsin(3/4)-π/4时
S最大值=1
答
设BC=a,a^2+2a^2-4=2根号2a^2cosC,S=0.5根号2a^2sinC ;
(3a^2-4)^2/(8a^4)+4S^2/(2a^4）=1 ；
整理得：16S^2=8a^4-(3a^2-4)^2=-a^4+24a^2-16=-（a^2-12)^2+128