已知x=1是f(x)＝2x+bx+lnx的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）-3x，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．
问题描述：
已知x=1是f(x)＝2x+
+lnx的一个极值点b x
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-
，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由． 3 x
答
（Ⅰ）∵x=1是f(x)＝2x+bx+lnx的一个极值点，f′（x）=2-bx2+1x，∴f′（1）=0，即2-b+1=0，∴b=3，经检验，适合题意，∴b=3．（II）由f′（x）=2-3x2+1x＜0，得2x2+x−3x2＜0，∴-32＜x＜1，又∵x＞0（定义域），∴...
答案解析：（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是f(x)＝2x+
+lnx的一个极值点，得f′（1）=0，由此能求出b．b x
（II）由f′（x）=2-
+3 x2
＜0，得1 x
＜0，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间．2x2+x−3 x2
（III）g（x）=f（x）-
=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），故2x0+lnx0-5=（2+3 x
）（x0-2），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．1 x0
考试点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．