过原点的直线交椭圆于P、A两点其中P在第一象限,过P做X轴的垂线,垂足C,连接AC并延长交椭于点B,若PA⊥PB

设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,

设P（x1,y1),B(x2,y2),

因A和P关于原点对称,故A（-x1,-y1),C(x1,0),

直线AP斜率K(AP)=y1/x1=k

C在AB上,AC和AB斜率相同,

AC斜率K（AC)=(0+y1)/(x1+x1)=y1/(2x1)=k/2,

AB斜率:K（AB）=（y2+y1)/(x2+x1)=k/2,

PB斜率:K（PB）=（y2-y1)/(x2-x1),

K(AB)*(K(PB)=[(y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2]

∵P、B在椭圆上,

∴x1^2/a^2+y1^2/b^2=1,(1)

x2^2/a^2+y2^2/b^2=1,(2)

(2）-（1）式,

[（y2)^2-(y1)^2]/[(x2)^2-(x1)^2=-b^2/a^2

∴K(AB)*K(PB)=-b^2/a^2,

∴K（PB）=（-b^2/a^2)/(k/2)

∵PA⊥PB,

∴K（PA）*K（PB）=-1,

∴K（PB）=-1/k,

（-b^2/a^2)/(k/2)=-1/k,

∴b^2/a^2=1/2,

a^2=2b^2,

b=√2a/2

c^2=a^2-b^2=a^2/2,

c=√2a/2,

∴离心率e=c/a=√2/2.