求对坐标的曲面积分∫∫(x^2*y^2*z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下侧
问题描述：
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2*y^2*z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下侧
答
这是第二型曲面积分,曲面的显示表达式为z＝－根号(R^2－x^2－y^2)
法向量的第三个分量是－1,记D为x^2+y^2（从0到pi/2）sin^5a*cos^2ada这个部分是怎么计算的呢，令cosa＝t，a＝0对应t＝1，a＝pi/2对应t＝0，cos^2a=t^2，sin^4a=(1－t^2)^2， sinada＝－dt，故这个积分 ＝积分（从0到1）(1－t^2)^2*t^2dt ＝积分（从0到1）(t^2－2t^4+t^6)dt ＝8/105