如图，M、N、P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点． （1）若BM/MA=BN/NC，求证：无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN； （2）若D1P：PD=1：2，且PB⊥平面B1MN，求二面角M-B1N

答

证明：（1）连接AC、BD，则BD⊥AC，
∵

BM

MA

=

BN

NC

，
∴MN∥AC，∴BD⊥MN．
又∵DD₁⊥平面ABCD，
∴DD₁⊥MN，
∵BD∩DD₁=D，∴MN⊥平面BDD₁．
又P无论在DD₁上如何移动，总有BP⊂平面BDD₁，
∴无论点P在D₁D上如何移动，总有BP⊥MN．
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM=NC=t，
则M（1，t，0），N（t，1，0），B₁（1，1，1），
P（0，0，

2

3

），B（1，1，0），A（1，0，0），
∵=（0，1-t，1），
B=(−1，−1，

2

3

)
又∵BP⊥平面MNB₁，
∴•B=0，
即t-1+

2

3

=0，∴t=

1

3

，
∴=（0，

2

3

，1），
M=（-

2

3

，

2

3

，0）．
设平面MNB₁的法向量n=（x，y，z），
由，
得x=y，z=-

2

3

y．
令y=3，则n=（3，3，-2）．
∵AB⊥平面BB₁N，
∴AB是平面BB₁N的一个法向量，AB=（0，1，0）．
设二面角M-B₁N-B的大小为θ，
∴cos＜n，A＞
=

|(3，3，−2)•(0，1，0)|

22

=

3 22

22

．
则二面角M-B₁N-B的余弦值为

3 22

22

．
（3）存在点P，且P为DD₁的中点，
使得平面APC₁⊥平面ACC₁．
证明：∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面ACC₁．
取BD₁的中点E，连PE，
则PE∥BD，
∴PE⊥平面ACC₁．
∵PE⊂平面APC₁，
∴平面APC₁⊥平面ACC₁．