已知数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,且点(2n,Sn)在直线y=kx-1 上. (1)求k的值,并证明{an}是等比数列; (2)记Tn为数列{Sn}的前n项和,求使TN>2010成立的n最小值.
问题描述:
已知数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,且点(2n,Sn)在直线y=kx-1 上.
(1)求k的值,并证明{an}是等比数列;
(2)记Tn为数列{Sn}的前n项和,求使TN>2010成立的n最小值.
答
(1)由题意得Sn=k•2n−1,
∵S2=3,∴3=k•22-1,解得k=1.
∴Sn=2n-1,
∴a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.
∴
=an an−1
=2,2n 2n−1
∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列;
(2)∵Tn=2+22+…+2n−n=
−n=2n+1-n-2,2(2n−1) 2−1
由2n+1-n-2>2010,得n≥10.
∴使TN>2010成立的n最小值是10.