已知数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,且点(2n,Sn)在直线y=kx-1 上. (1)求k的值,并证明{an}是等比数列; (2)记Tn为数列{Sn}的前n项和,求使TN>2010成立的n最小值.

问题描述:

已知数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,且点(2n,Sn)在直线y=kx-1 上.
(1)求k的值,并证明{an}是等比数列;
(2)记Tn为数列{Sn}的前n项和,求使TN>2010成立的n最小值.

(1)由题意得Sn=k•2n−1
∵S2=3,∴3=k•22-1,解得k=1.
∴Sn=2n-1,
∴a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1

an
an−1
2n
2n−1
=2,
∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列;
(2)∵Tn=2+22+…+2n−n=
2(2n−1)
2−1
−n
=2n+1-n-2,
由2n+1-n-2>2010,得n≥10.
∴使TN>2010成立的n最小值是10.