在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行BC,设MN交角BCA的角平分线于点E,交角BCA的外角于点F求证EO=FO (2):当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

证明：（1）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
∴∠ECO = ∠BCE，∠DCF = ∠OCF
又∵直线MN ‖BC，
∴∠BCE = ∠CEO，∠DCF = ∠CFO
∴∠ECO = ∠CEO，∠CFO = ∠OCF
∴EO = CO，CO = FO
∴ EO = FO
（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
证明：当EO = FO时，O为EF的中点，
而当O为AC的中点时，说明四边形AECF是平行四边形
由（1）可知CO =EF，而CO =AC
∴EF = AC，所以四边形AECF是矩形。
（3）当点O运动到AC中点且∠ACB = 90°，四边形AECF是正方形。
证明：当∠ACB = 90°，∠CEO = ∠CFO = 45°
∴EC = CF，而当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
∴四边形AECF是正方形。

1因为已知CE平分∠BCA,所以∠BCE=∠ECA,因为MN//BC,所以∠BCE=∠CEO,所以∠CEO=∠ECA,所以EO=CO,因为CF平分∠OCI,所以∠OCF=∠FCI,因为MN//BC,所以∠OFC=∠FCI,所以∠OFC=∠OCF,所以CO=FO,所以EO=FO
2当点O运动到AC中点时,四边形AECF为矩形
因为由上题以证明EO=FO,若o运动到AC中点 则AO=CO,则AC、EF互相平分,则四边形AECF为平行四边形,因为已知CF平分∠OCI,CE平分∠BCA,所以∠BCE=∠ECO,∠OCF=∠FCI,所以∠ECO+∠OCF=∠BCE+∠FCI,因为∠BCI=180°,所以∠ECO+∠OCF=90°,所以平行四边形AECF为矩形