若f(x)在[0,a]上连续,在（0,a）内可导,a>0,且f(0)=1,f(a)=0,证明（1）至少存在一点&属于（0,a）
问题描述：
若f(x)在[0,a]上连续,在（0,a）内可导,a>0,且f(0)=1,f(a)=0,证明（1）至少存在一点&属于（0,a）
使得f（&）=&/a; (2)在（0,a）必存在x1
答
(1)证明：令g(x)=f(ax)-x,则g(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且g(0)=1,g(1)=-1,所以由介值定理知存在c属于（0,1）使得g(c)=0.即f(ac)-c=0.令&=ac,则&属于（0,a）,且f(&)=&/a.
(2)证明：分别考虑（0,&）和（&,a）由拉格朗日定理知存在x1属于（0,&）和x2属于（&,a）分别满足：
f'(x1)=[f(&)-f(0)]/(&-0)=(&/a -1)/& =(&-a)/a&
f'(x2)=[f(a)-f(&)]/(a-&)=(-&/a)/(a-&)=&/[a(&-a)]
且f'(x1)f'(x2)=1/(a^2).