关于圆的周长的知识

1.求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题.中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算,而公元5世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进.祖冲之经过刻苦钻研,继承和发展了前辈科学家的优秀成果.他对于圆周率的研究,就是他对于我国乃至世界的一个突出贡献.祖冲之对圆周率数值的精确推算值,用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”,简称“祖率”.
圆周率就是圆的周长与它直径之间的比,是一个常数,用希腊字母“π”来表示,为算式355÷113所得.在天文历法方面和生产实践当中,凡是牵涉到圆的一切问题,都要使用圆周率来推算.
如何正确地推求圆周率的数值,是世界数学史上的一个重要课题.我国古代数学家们对这个问题十分重视,研究也很早.在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率,定圆周率为三,即圆周长是直径长的三倍.此后,经过历代数学家的相继探索,推算出的圆周率数值日益精确.西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛（一种量器）的过程中,发现直径为一、圆周为三的古率过于粗略,经过进一步的推算,求得圆周率的数值为3.1547.东汉著名科学家张衡推算出的圆周率值为3.162.三国时,数学家王蕃推算出的圆周率数值为3.155.魏晋之际的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术.他设圆的半径为1,把圆周六等分,作圆的内接正六边形,用勾股定理求出这个内接正六边形的周长；然后依次作内接十二边形,二十四边形……,至圆内接一百九十二边形时,得出它的边长和为6.282048,而圆内接正多边形的边数越多,它的边长就越接近圆的实际周长,所以此时圆周率的值为边长除以2,其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些.在割圆术中,刘徽已经认识到了现代数学中的极限概念.他所创立的割圆术,是探求圆周率数值的过程中的重大突破.后人为纪念刘徽的这一功绩,把他求得的圆周率数值称为“徽率”或称“徽术”.
刘徽以后,探求圆周率有成就的学者,先后有南朝时代的何承天,皮延宗等人.何承天求得的圆周率数值为3.1428；皮延宗求出圆周率值为22／7≈3.14.以上的科学家都为圆周率的研究推算做出了很大贡献,可是和祖冲之的圆周率比较起来,就逊色多了.
祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽,但并未达到精确的程度,于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值.它研究和计算的结果,证明圆周率应该在3.1415926和3.1415927之间.他成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数字的人.直到一千年后,这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破.祖冲之提出的“密率”,也是直到一千年以后,才由德国 称之为“安托尼兹率”,还有别有用心的人说祖冲之圆周率是在明朝末年西方数学传入中国后伪造的.这是有意的捏造.记载祖冲之对圆周率研究情况的古籍是成书于唐代的史书《隋书》,而现传的《隋书》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本,其中就有和其他现传版本一样的关于祖冲之圆周率的记载,事在明朝末年前三百余年.而且还有不少明朝之前的数学家在自己的著作中引用过祖冲之的圆周率,这些事实都证明了祖冲之在圆周率研究方面卓越的成就.
祖冲之按照刘徽的割圆术之法,设了一个直径为一丈的圆,在圆内切割计算.当他切割到圆的内接一百九十二边形时,得到了“徽率”的数值.但他没有满足,继续切割,作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形,依次求出每个内接正多边形的边长.最后求得直径为一丈的圆,它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间,上面的那些长度单位我们现在已不再通用,但换句话说：如果圆的直径为1,那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一,它们的提出,大大方便了计算和实际应用.
要作出这样精密的计算,是一项极为细致而艰巨的脑力劳动.我们知道,在祖冲之那个时代,算盘还未出现,人们普遍使用的计算工具叫算筹,它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子,有竹、木、铁、玉等各种材料制成.通过对算筹的不同摆法,来表示各种数目,叫做筹算法.如果计算数字的位数越多,所需要摆放的面积就越大.用算筹来计算不象用笔,笔算可以留在纸上,而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计算结果,而无法得到较为直观的图形与算式.因此只要一有差错,比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误,就只能从头开始.要求得祖冲之圆周率的数值,就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算,而每个步骤都要反复进行十几次,开方运算有50次,最后计算出的数字达到小数点后十六、七位.今天,即使用算盘和纸笔来完成这些计算,也不是一件轻而易举的事.让我们想一想,在一千五百多年前的南朝时代,一位中年人在昏暗的油灯下,手中不停地算呀、记呀,还要经常地重新摆放数以万计的算筹,这是一件多么艰辛的事情,而且还需要日复一日地重复这种状态,一个人要是没有极大的毅力,是绝对完不成这项工作的.这一光辉成就,也充分反映了我国古代数学高度发展的水平.
祖冲之在圆周率方面的研究,有着积极的现实意义,适应了当时生产实践的需要.他亲自研究过度量衡,并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算.
古代有一种量器叫做“釜”,一般的是一尺深,外形呈圆柱状,那这种量器的容积有多大呢?要想求出这个数值,就要用到圆周率.祖冲之利用他的研究,求出了精确的数值.他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”（另一种量器,与上面提到的 都是类似于现在我们所用的“升”等量器,但它们都是圆柱体.）,由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够准确,所以他所得到的容积值与实际数值有出入.祖冲之找到他的错误所在,利用“祖率”校正了数值.
以后,人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值.祖冲之在前人的基础上,经过刻苦钻研,反复演算,将圆周率推算至小数点后7位数,并得出了圆周率分数形式的近似值.祖冲之究竟用什么方法得出这一结果,现在无从查考；如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话,就要计算到圆内接16000多边形,这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊!
据《隋书·律历志》记载,祖冲之以一忽（一丈的一亿分之一）为单位,求直径为一丈的圆的周长,求得盈数为3.1415927、肭数为3.1415926,圆周率的真值介于盈肭两数之间.《隋书》没有具体说明祖冲之是用什么方法计算出盈肭两数的.一般认为,祖冲之采用的是刘徽的割圆术,但也有别的多种猜测.这两个近似值准确到小数第7位,是当时世界上最先进的成就.直到一千多年以后,15世纪阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家F.韦达才得到更精确的结果.祖冲之确定了π的两个渐近分数,约率22/7和密率355/113.其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世纪才由德国人V.奥托发现.它是三个成对奇数113355再折两段组成,优美、规整、易记.为了纪念祖冲之的杰出贡献,有些外国数学史家把圆周率π的密率叫做“祖率”.