计算含参变量积分求导问题(数学分析)
计算含参变量积分求导问题(数学分析)
在定积分一章中,变上限积分原函数存在定理,提供了一种求导方法.
而在多元函数微分学一章中,讨论了含参量积分的连续性、可微性、可积性.其中可微性内容中又有求含参量积分的导数的公式.
请问这两者内容是否统一?
有以下2题目：
①F(t)=积分（0到2t+1） ln(x^2+t^2)dx ,求 F'(-1)
②f(x)=积分（3到2x-1）[sin(y-x) / (1+y^2)]dy,求 f'(x)
第二个题的被积函数显然应是二元函数.
那么①问题的被积函数是多元函数吗?t是否看作是y?这个疑问是否会影响到①的最终求解?
答好了追加分数.
①问题中的被积函数是多元函数,即被积函数为g(x,t)=ln(x²+t²),过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx=∫ 2t/(x²+t²)dx=2arctan(x/t)| [0,2t+1]=2 arctan[(2t+1)/t]从而F'(-1)=2arctan1=π/2...请问什么的情况下可以用变上限积分求导法？问题的第四行，这两者是不是统一的？为什么？您还没有解释呢。变上限积分的求导公式如下F(t)=∫ [a(t), b(t)] f(x)dx，则F'(t)=a'(t) f[a(t)]-b'(t)f[b(t)]也就是当求导的对象是t时，只有在积分上下限为t的函数，被积函数不含有t的时候才能用以上公式！二者不统一，因为①中没办法用上述公式算，你可以计算一下，结果不一样！t只是一个符号啊...有可能是为了和x区分才换的啊...变上限积分的求导和含参积分求导区别是什么啊？变上限积分求导就是求导对象只在上下限出现，在被积函数中不出现含参变量积分求导就是求导对象出现在被积函数中此外，①做的时候我漏了一项，不好意思！应该是过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx+g(2t+1, t)(2t+1)'=∫ 2t/(x²+t²)dx+2ln [(2t+1)²+t²]=2arctan(x/t)| [0,2t+1]+2ln [(2t+1)²+t²]=2 arctan[(2t+1)/t]+2ln [(2t+1)²+t²]从而F'(-1)=2arctan1+2ln2