∫dx/（x√(1+x^2 )）用4种方法 ,
问题描述：
∫dx/（x√(1+x^2 )）用4种方法 ,
老师很嚣张的说是要是做出4种做法,期末要几分给几分
答
（下面这些方法算出来的答案表面看上去不等,其实它们最多就是加减一个常数就行了.）
第一种,最容易想到的
令t=tanx,t∈(-π/2,π/2)
原式=∫(sect/tant)dt
=∫csctdt
=ln|cott-csct|+C
=ln|cot(tanx)-csc(tanx)|+C
第二种,也很常见
令t=1+x^2
原式=∫{1/[√(t-1)√t]}d(√(t-1))
=(1/2)∫{1/[(t-1)√t]}dt
令u=√t
上式=(1/2)∫{1/[(u^2-1)u]}d(u^2)
=∫[1/(u^2-1)]dut
=(1/2)ln|(u-1)/(u+1)|+C
将u=√(1+x^2)代回上式即可
第三种,倒变换
t=1/x
原式=-∫{1/√[(t^2)+1]}dt
=-ln|t+√(t^2+1)|+C
将t=1/x代回上式即可
第四种,额,出于尊重你老师的考虑,暂不公布.
第五种,同上.