如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC、PD. (1)求证:△APB≌△DPC; (2)求证:∠PAC=1/2∠BAP; (3)若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),AD∥BC,且BA=A

问题描述:

如图1,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC、PD.

(1)求证:△APB≌△DPC;
(2)求证:∠PAC=

1
2
∠BAP;
(3)若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形ABCD(如图2),AD∥BC,且BA=AD=DC,形内一点P仍满足AP=AB,PB=PC,试问(2)中结论还成立吗?若成立请给予证明;若不成立,请说明理由.

(1)∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=∠DCB=90°,AB=CD,
∵BP=PC,
∴∠PBC=∠PCB,
∴∠ABP=∠DCP,
又∵AB=CD,BP=CP,
∴△ABP≌△DCP(SAS).
(2)设∠PAC=x°,∠BAP=y°,则∠CAD=∠DCA=(60-x)°,∠PDC=y°.
由图形得,x+60=y+60-x,
∴y=2x,
∴∠PAC=

1
2
∠BAP.
(3)以D为圆心,DA为半径画圆,设∠PAC=x°,∠BAP=y°,
则∠CAD=∠DCA=(60-x)°,∠PDC=y°.
由图形得,x+60=y+60-x,
∴y=2x,
∴∠PAC=
1
2
∠BAP.