答
(1)∵S△ACP=AP•|yC|=1,由题意知:|yC|=1,
∴AP=2,即A(-3,0);
由于A、B关于点P对称,则B(1,0);
设经过A、E、B的抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),则有:
a(0+3)(0-1)=-3,a=1,
故所求抛物线的解析式为:y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3.
(2)由于△PAC和△PAF同底,若S△FAP=S△CAP,那么C、F的纵坐标的绝对值相同;
当F点的纵坐标为1时,C、F关于直线x=-1对称,则F(--1,1);
当F点纵坐标为-1时,代入y=x2+2x-3中,得:x2+2x-3=-1,
解得x=-1±;
故F(-1+,-1)或(-1-,-1);
综上可知:存在符合条件的F点,且坐标为:F1(--1,1)、F2(-1+,-1)、F3(-1-,-1).
(3)由于EG∥x轴,则E、G关于直线x=-1对称,故G(-2,-3);
设经过点G的“双抛物线”的切线的解析式为:y=kx+b,
则有:-2k+b=-3,b=2k-3;
∴y=kx+2k-3;
由于G点同时在切线和抛物线的图象上,
则有:x2+2x-3=kx+2k-3,
即x2+(2-k)x-2k=0,
由于两个函数只有一个交点,则:
△=(2-k)2+8k=0,
解得k=-2;
故所求切线的解析式为:y=-2x-7.