在三角形ABC中,∠A,B,C的对应边分别为a,b,c,且a=根号5,b=3,sinC=2sinA.求c的值和sin(2A—π/3）的值.
问题描述：
在三角形ABC中,∠A,B,C的对应边分别为a,b,c,且a=根号5,b=3,sinC=2sinA.求c的值和sin(2A—π/3）的值.
答
解析：
已知a=根号5,b=3,sinC=2sinA,那么：sinC/sinA=2
由正弦定理有：a/sinA=c/sinC
所以：c=a*sinC/sinA=2根号5
那么由余弦定理可得：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(9+20-5)/(2*3*2根号5)=2(根号5)/5
而sinA=根号(1-cos²A)=根号(1- 4/5)=(根号5)/5
所以：sin2A=2sinA*cosA=2*(根号5)/5 *2(根号5)/5=4/5
cos2A=2cos²A-1=2*[2(根号5)/5]² - 1=3/5
则：sin(2A—π/3）
=sin2Acos(π/3）- cos2Asin(π/3）
=(4/5)*(1/2) - (3/5)*(根号3)/2
=(4- 3根号3)/10