怎样求曲面面积

实验六教堂顶部曲面面积的计算方法
一、实验目的
本实验主要涉及微机分,通过实验将复习曲面面积的计算,重积分和Taylor展开等知识;另外将介绍重积分的数值计算方法和取得函数近似解析式的摄动方法.
二、实际问题
某个阿拉伯国家有一座著名的*堂,它以*大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐尔.因年久失修,国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰.据档案记载,大厅的顶部形状为半球形,其半径为30m.考虑到可能的损耗和其它技术原因,实际用量将会比教堂顶部面积多1.5%.据此,国王的财政大臣拨出了可制造5,750m 有规定厚度金箔的黄金.建筑商人哈商略通数学,他计算一下,觉得黄金会有盈余.于是,他以较低的承包价得到了这项装饰工程.但在施工前的测量中,工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭球面,其半立轴恰好30m,而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m.这一来哈桑犯了愁,他担心黄金是否会有盈余?甚至可能短缺.最后的结果究竟如何呢?
三、数学模型
取球面中心为坐标原点建立直角坐标系,则教堂顶部半椭球面方程可表示为:
(6.1)
其中R=30,a=30.6,b=29.6,而其表面积为:
(6.2)
这里积分区域 为:
通过简单的计算容易得到:

引进变量代换：
则有
(6.3)
这个积分相当复杂,是一个无法用初等函数形式表示的积分.
四、数值积分方法
对于二重积分,可以如同一元函数定积分那样,将区域划分为小块,然后在每个区域上对被积函数作近似简化求积,再把所得的值求和即可.
考虑矩形区域 上的二重积分
(6.4)
将 划分作 个相等的小矩形{ },其中 和 分别是 和 方向的分点:

而,那么小矩形上的积分可分写为:
(6.5)
记
则
若对这两个单积分都用梯形法,就有

而
(6.6)
这样便可求得在 上的积分 的近似值
(6.7)
当将分点增加一倍使得 而记

那么对
（6.8）
的两次积分都用Simpson 法,就得到
（6.9）
从而


（6.10）
于是有积分I的近似值为
,奇数 (6.11)
为了形象地表现由式(6.6)和式(6.10)给出的计算格式,常用的办法是如图2.1那样在分割的小矩形顶点上标出相应的函数值和式中的加权数.
11 (i,j) 14 1 (i+1,j+1 )

11
1(i-1,j-1)11 1
(i-1,j-1)
(格式(6.6)) (格式(6.10))
图6-1
对于矩形区域的重积分,还存在其他的计算格式;另外,对于一些规则区域,也有相应的近似计算格式,读者可以在数值计算的有关书籍或数学手册中查阅.
对于问题中的面积 ,由于积分表达式(6.3)在 处的奇性(被积函数分母为零),不能直接对此式用上述数值方法.但只要作一个变换
(6.12)
就可以将(6.3)改写为(学员自行验证)(6.13)
现在我们可以用数值积分的方法了.把二重积分(6.13)的积分区域
分割为 个小矩形,利用近似格式(6.8),我们得到如表6.1的计算结果:
表6.1
m Sm S
2 5621.42 16 5679.83
4 5679.78 24 5679.82
6 5679.89 44 5679.81
10 5679.84 100 5679.81
从所得结果看,取面积值为5679.81( )已经极为精确,若仅要求精确到0.1 （ ） ,那么计算量可大大减少,此时,而
S 5679.81( )
加上技术与损耗等原因,教堂顶部实际使用金箔总面积为

显然,建筑商人哈桑在金箔上将入不敷出,从而招受损失.
建议读者用近似格式(6.10)格式再算一次,以作比较. 数值积分的方法给出了近似结果,以下我们再介绍另一种近似方法.
五.摄动方法
简单地说,摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开,从而求得近似解析解的方法.应用与积分计算,常常是采取将被积函数(或其部分)展开的方法.我们先通过一个简单例子来说明这方法.
对于 ,计算
(6.14)
利用Taylor 公式,关于参数 展开,有


+
余项的写法考虑到了 .我们称级数 为函数的渐近级数,通常应用渐近级数的有限项来近似函数.例如,在这里把前 项替换代入积分式(6.14),那么由于

可得
(6.15)
当 时,用上式前5项计算 的误差不超过0.01,可见这方法是相当有效的.
现在回到曲面面积的计算,由于 十分接近 ,因此可以引进小参数
(6.16)
那么面积表达式(6.3)成为

(6.17)
应用摄动方法,要对函数

关于小参数 展开.在这种双参数的情况下我们可以直接运用二元函数的Taylor公式,但也可以借助一元函数的Taylor 公式,即先将函数中的 看作一个整体(一项)进行展开,然后再作进一步的处理.从而可得

(6.18)
注意由(6.16),有

它们都是很小的数.

把式(6.18)的前有限项代入式(6.17),就可以逐项积分,容易求得


如果就取这三项的值,则求得教堂顶部面积为:

这个数值在用积分近似格式(6.6)时需要取 才能得到