如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M是BC的中点,E是BC上任意一点,EP⊥BD于点P,EQ⊥AC于点Q,连接MP和MQ,试说明MP=MQ.
问题描述:
如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M是BC的中点,E是BC上任意一点,EP⊥BD于点P,EQ⊥AC于点Q,连接MP和MQ,试说明MP=MQ.
答
连接OM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠BOC=90°,
∵M为BC的中点,
∴OM=BM=CM,∠OBC=○OCB=45°=∠COM=∠BOM,∠OMB=90°,
∵∠BOC=90°,EQ⊥OC,EP⊥OB,
∴∠QOP=∠OPE=∠OQE=90°,
∴四边形OPEQ是矩形,
∴OQ=PE,∠OPE=90°,
∴∠BPE=90°,
∵∠PBC=45°,
∴∠PBE=∠PEB=45°,
∴BP=PE=OQ,
在△PBM和△QOM中
BP=OQ ∠PBM=∠QOM=45° BM=OM
∴△PBM≌△QOM,
∴MP=MQ.