定义在正实数集上的函数f(x)满足条件：（奖25分）定义在正实数集上的函数f(x)满足条件：（1）f(2)=1(2) f(x*y)=f(x)+f(y)(3) 当x>y 时 有f(x)>f(y)求满足 f(x)+f(x-3)求救

∵f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]
2=f(2)+f(2)=f(4)
∴f[x(x-3)]≤f(4)
∵当x>y 时 有f(x)>f(y)
∴x(x-3)≤4 → x∈[-1,4]
又∵x>0且x-3>0 → x>3
∴x∈(3,4]

可以用函数方程的Cauchy解法 用3个条件证明f(x)=log2底x
(i)K属于正整数
f(x的K次方)=kf(x)
(ii)K=0
因为f(1*1)=f(1)+f(1) 所以f(1)=0
(iii)K属于负整数
0=f(1)=f(x的K次方*x的-K次方)=f(x的K次方)+f(x的-K次方)
所以 f(x的K次方)=-f(x的-K次方)=kf(x)
(iv)K数以有理数
x=p/q p和q为整数
f(x)=f(q次根号下x 的q次方)=qf(q次根号下x)
所以f(q次根号下x)=f(x)/q
所以f(q次根号下x 的p次方)=p/q*f(x)=Kf(x)
(v)K为无理数
对k1,k2属于有理数
满足k1 所以f(x的k1次方) 即k1f(x) 使k1+a=K=k2-a
a可以无限逼近0
所以f(x的K次方)=Kf(x)
综上,K属于实数 f(x的K次方)=Kf(x)
令x=2 f(2的K次方)=Kf(2)=K
所以f(x)+f(x-3)等价于 log2底x*(x-3)x-3>0
x*(x-3) 0

潶ˇ黯┎蔱手

当x>y 时 有f(x)>f(y)
f(x)增函数,
f(1*2)=f(1)+f(2),f(1)=0,
f(2*2)=f(2)+f(2),f(4)=2,
f(x)+f(x-3)0)
f(x)f(x)+f(x-3)=2，满足条件，
f(3)f(3)f(x)+f(x-3)=f(x*(x-3))x*(x-3)0,x>3
-13

2=f(2)+f(2)=f(4)
f(x)+f(x-3)=f(x^2-3x)
当2>=x^2-3x时
f(x)+f(x-3)