非交换单群的自同构群是完全群

有一个证明,但是其中第(2)、(3)两步我看不懂,先把链接放这里.
www.math.ucla.edu/~mms/simple.ps
第(2)步里,为什么G和\sigma(G)就交换了,我还没看出来.所以第(3)步就没仔细看.连接打不开 能直接发么？假设G是非交换有限单群。（它假设了有限）要证明H=Aut(G)是完全的。首先注意到G和Inn(G)同构，因为G的中心Z(G)={1}。(1)证明G（作为Inn(G))在Aut(G)里的中心化子是{1}.证明：假设Aut(G)里的某个s和所有的Inn(G)交换，那么s(xyx^(-1)) = x s(y) x^(-1)，对G里任意的x和y成立。这就说明x^(-1) s(x)和 s(y)交换，对所有的y，所以x^(-1) s(x)在Z(G)中。而G是非交换单群，所以Z(G)={1}，所以s(x)=x，s=1.(2)证明G是H的特征子群（把G看作H的子群的时候，总把G想成Inn(G)），即Aut(H)中的任何元素都保持G不变（从而可以看成是Aut(G)=H里的元素）。这样就得到了从Aut(H)到H的同态。证明：设s是Aut(H)里的任意元素，那么G和s(G)是H的正规子群（注意Inn(G)是Aut(G)的正规子群）。假如G和s(G)不相同，那么它们不交并且他们（逐个元素地）交换（这个没看懂是为什么），这与(1)矛盾。(3)上面一步中所得到的从Aut(H)到H的同态是同构。证明：这个同态首先是满的。这个他没有证，但我想应该是对的。任何H里的元素，都可以看成是Inn(H)里的元素，从而自然是Aut(H)里的元素，而这个Aut(H)里的元素限制在G上（在上一步中他至少自己认为是证明了G在Aut(H)的作用下是不变的，也就是说Aut(H)可以限制在G上），自然就是原来的Inn(H)里的元素。然后他证明这个同态是单的。这就是要证明，如果Aut(H)里的一个元素s，限制在G上是1的话，那么s本身就是1（也就是恒等变换，s(h)=h）。他说，对于Aut(G)=H里的元素h，和G里的元素x，s(hxh^(-1)) = hxh^(-1)，这里x看成是Inn(G)里的元素，hxh^(-1)看成是Aut(G)在Inn(G)上的作用。上面这个式子是因为s限制在G(=Inn(G))上是恒等变换。现在s(x)=x，所以s(h) x s(h^(-1)) = h x h^(-1)，也就是说h^(-1) s(h) 和 所有的 x 交换，由(1)得到h^(-1) s(h) = 1，也就是 s(h) = h。我现在大概(1)和(3)都理解了，就是(2)里面那部分不理解。