夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,则两垂足间的距离为_.

问题描述:

夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,则两垂足间的距离为______.

如图,平面α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=2a.
AC⊥l于点C,BD⊥l于点D,
则CD即为所求.
∵α⊥β,AC⊥l,∴AC⊥β,∠ABC就是AB与平面β所成的角.
故∠ABC=30°,故AC=a.
同理,在Rt△ADB中求得AD=

2
a.
在Rt△ACD,CD=
2a2a2
=a.