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已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集（Ⅰ）求角C的最大值；（Ⅱ）若c＝72，△ABC的面积S＝323，求当角C取最大值时a+b的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 10:40:01
问题描述：

已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若c＝

7
2
，△ABC的面积S＝
3
2
 3
，求当角C取最大值时a+b的值．

答

（Ⅰ）∵不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集是空集．
∴
cosC>0
△≤0
，即
cosC>0
16sin2C-24cosC≤0
，
即
cosC>0
cosC≤-2或cosC≥
1
2
，
故cosC≥
1
2
，∴角C的最大值为60°．
（Ⅱ）当C=60°时，S△ABC=
1
2
absinC=
 3
4
ab=
3
2
 3
，∴ab=6，
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-2abcosC，
∴(a+b)2=c2+3ab=
121
4
，
∴a+b=
11
2
．
答案解析：（Ⅰ）根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范围，进而根据余弦函数的单调性求得C的最大值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得C，利用三角形面积公式求得ab的值，进而代入余弦定理求得a+b的值．
考试点：余弦定理的应用；三角函数的化简求值．
知识点：本题主要考查了余弦定理的应用，解不等式问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

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