已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.

问题描述:

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.

由2cos2B-8cosB+5=0,可得4cos2B-8cosB+3=0,
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=

1
2
cosB=
3
2
(舍去).
∵0<B<π,∴B=
π
3

又∵a,b,c成等差数列,即a+c=2b.
cosB=
a2+c2b2
2ac
a2+c2(
a+c
2
)
2
2ac
1
2

化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c,
B=
π
3

∴△ABC是等边三角形.