已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.
问题描述:
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.
答
由2cos2B-8cosB+5=0,可得4cos2B-8cosB+3=0,
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=
或cosB=1 2
(舍去).3 2
∵0<B<π,∴B=
π 3
又∵a,b,c成等差数列,即a+c=2b.
∴cosB=
=
a2+c2−b2
2ac
=
a2+c2−(
)2
a+c 2 2ac
,1 2
化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c,
∵B=
π 3
∴△ABC是等边三角形.