(已知1+x+x^2+……+X^2000=0,求x^2001的值)已知1+x+x^2+……+X^2000=0,求x^2001的值.

1

(1+x+x^2+……+X^2000)(x-1)
=x+x^2+……+X^2000+X^2001-(1+x+x^2+……+X^2000)
=X^2001-1=0
故x^2001=1

1+x+x^2+……+X^2000=0
x+x^2+……+X^2001=0 同乘x
两式相减
-1+X^2001=0
X^2001=1

x^2001-1=(x-1)(1+x+x^2+……+X^2000)
因为1+x+x^2+……+X^2000=0
所以x^2001-1=0
所以x^2001=1

答案为1

(1-x)(1+x+x^2+……+x^2000)=(1-x)*0=0
而(1-x)(1+x+x^2+……+x^2000)=1-x^2001
所以1-x^2001=0
x^2001=1

等式左右同乘x,得
x+x^2+x^3+…+x^2001=0
两式相减,得
x^2001-1=0
x^2001=1
本题还有一道类似题：
已知：1+x+x平方=0,求：x的2001次方+x2000次方+x1999次方+……+x+1的值
答案：x^2001+x^2000+x^1999+……+x+1
=(x^2001+x^2000+x^1999)+……+x^3+x^2+x+1
=x^1999(x^2+x+1)+.+x(x^2+x+1)+1
=x^1999*0+.+x*0+1
=1

对原式泳等比数列求和
1+x+x^2+……+X^2000=（1-X^2001）/（1-x）=0
x^2001=1