若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的、单调的函数,且满足f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点”.对于函数f(x)=-x3+x2+x+m, (1)当m=0时,讨论函数f(x)=-x3+x2+

问题描述:

若函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续的、单调的函数,且满足f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间[a,b]上有唯一的零点”.对于函数f(x)=-x3+x2+x+m,
(1)当m=0时,讨论函数f(x)=-x3+x2+x+m在定义域内的单调性并求出极值;
(2)若函数f(x)=-x3+x2+x+m有三个零点,求实数m的取值范围.

(1)当m=0时,f(x)=-x3+x2+x.
∴f′(x)=-3x2+2x+1=−3(x+

1
3
)(x−1).
列表如下:

由表可知:函数f(x)=-x3+x2+x在区间[-
1
3
,1]上单调递增,在(−∞,−
1
3
)
和(1,+∞)上单调递减.
∴f(x)的极小值为f(−
1
3
)
=-
5
27

极大值为ƒ(1)=1.
(2)由(1)知,当x=-
1
3
时,
f(x)取得极小值f(−
1
3
)= 
1
27
+
1
9
1
3
+m=m−
5
27

当x=1时,f(x)取得极大值
f(1)=-1+1+1+m=m+1,
m−
5
27
<0
m+1>0
,即-1<m<
5
27
时,
f(-1)=1+1-1+m=m+1>0,
f(−
1
3
)
=m-
5
27
<0,
f(1)=m+1>0,f(2)=m-2<0,
∴f(x)=-x3+x2+m在[−1,−
1
3
]
上有唯一零点.
(−
1
3
,1]
上有唯一零点,在(1,2]上有唯一零点.又f(x)=-x3+x2+x+m在(-∞,-1]上单调递减,
在[2,+∞]上单调递减,∴在(-∞,-1]上恒有ƒf(x)≥f(-1)>0,在[2,+∞)上恒有f(x)≤f(2)<0.
∴f(x)=-x3+x2+x+m-在(-∞,-1]和[2,+∞)上无零点.∴-1<m<
5
27
时,函数f(x)=-x3+x2+x+m在有三个零点,
∴所求实数m的取值范围是(−1,
5
27
)