微积分 高数 函数序列一致收敛证明 设连续函数序列{fn(x)}在[0,1]上一致收敛,证明{e^fn(x)}在[0,1]上也一致收敛.

问题描述:

微积分 高数 函数序列一致收敛证明 设连续函数序列{fn(x)}在[0,1]上一致收敛,证明{e^fn(x)}在[0,1]上也一致收敛.

fn(x)在[0,1]上一致收敛于f(x),又fn(x)在[0,1]上连续,所以极限函数f(x)在[0,1]上连续
所以f(x)在[0,1]上有界,设M为其上界,根据fn(x)的一致收敛:
对于∀ε‘=ln(1+ε)>0,∃N(ε‘),当n>N时,|fn(x)-f(x)|<ε’,则:
对于∀ε>0,当n>N时,

所以e^[fn(x)]在[0,1]上一致收敛于e^[f(x)].