如图所示,已知O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D. (1)求证:PB=PD; (2)若角的顶点P在圆上或圆内,(1)中的结论还成立吗?若不成立,请说

问题描述:

如图所示,已知O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.

(1)求证:PB=PD;
(2)若角的顶点P在圆上或圆内,(1)中的结论还成立吗?若不成立,请说明理由;若成立,请加以证明.

(1)证明:过O作OM⊥PB于M,ON⊥PD于N.
∵OP平分∠EPF,
∴OM=ON,又OP=OP,
∴Rt△POM≌Rt△PON(HL),
∴PM=PN,
∴AB=CD,则BM=DN,
∴PM+BM=PN+DN,
∴PB=PD.
(2)上述结论仍成立.如下图所示.
当点P在圆上时,
根据解平分线的性质可知OM=ON,
∴△OPM≌△OPN,
∴PM=PN,
根据垂径定理得AM=PM,CN=PN
∴BP=DP,
当点P在圆内时,
根据角平分线的性质可知OM=ON,
∴△OPM≌△OPN,
∴PM=PN,
连接OB,OD则△OBM≌△ODN,
∴AM=CN,
∴PB=PD.