已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an+1＝λan+n，bn＝an−2n3+49．（1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；（2）当λ＝−12时，试判断{bn}是否为等比数列．
问题描述：
已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an+1＝λan+n，bn＝an−
+2n 3
．4 9
（1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；
（2）当λ＝−
时，试判断{bn}是否为等比数列． 1 2
答
（1）当m=1时，a1=1．a2=λ+1，a3=λ（λ+1）+2=λ2+λ+2
假设{an}是等差数列，由a1+a3=2a2，
得λ2+λ+3=2（λ+1），
即λ2-λ+1=0，
∴△=-3＜0，
∴方程无实根．
故对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列．
（2）当λ＝−
时，an+1＝−1 2
an+n，bn＝an−1 2
+2n 3
bn+1＝an+1−4 9
+2(n+1) 3
＝(−4 9
an+n)−1 2
+2(n+1) 3
＝−4 9
an+1 2
−n 3
2 9
=−
(an−1 2
+2n 3
)＝−4 9
bn又b1＝m−1 2
+2 3
＝m−4 9
，2 9
∴当m≠
时，{bn}是以m−2 9
为首项，−2 9
为公比的等比数列，1 2
当m＝
时，{bn}不是等比数列．2 9
答案解析：（1）要证明{an}不是等差数列，只须证明a1+a3≠2a2，利用反证法即可完成；
（2）要判断{bn}是否为等比数列，只须紧扣等比数列的定义，证明bn+1：bn=同一个常数，注意对b1≠0的讨论．
考试点：等差关系的确定；等比关系的确定；等差数列的性质；等比数列的性质．
知识点：判断一个数列是等差数列或等比数列的常规方法是根据定义判断，而判断一个数列不是等差数列或等比数列，则只须证明其中的前三项构不成等差或等比关系即可．