已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an+1＝λan+n，bn＝an−2n/3+4/9． （1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列； （2）当λ＝−1/2时，试判断{bn}是否为等比数列．
问题描述：
已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an+1＝λan+n，bn＝an−
+2n 3
．4 9
（1）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列；
（2）当λ＝−
时，试判断{bn}是否为等比数列． 1 2
答
（1）当m=1时，a1=1．a2=λ+1，a3=λ（λ+1）+2=λ2+λ+2
假设{an}是等差数列，由a1+a3=2a2，
得λ2+λ+3=2（λ+1），
即λ2-λ+1=0，
∴△=-3＜0，
∴方程无实根．
故对于任意的实数λ，{an}一定不是等差数列．
（2）当λ＝−
时，an+1＝−1 2
an+n，bn＝an−1 2
+2n 3
bn+1＝an+1−4 9
+2(n+1) 3
＝(−4 9
an+n)−1 2
+2(n+1) 3
＝−4 9
an+1 2
−n 3
2 9
=−
(an−1 2
+2n 3
)＝−4 9
bn又b1＝m−1 2
+2 3
＝m−4 9
，2 9
∴当m≠
时，{bn}是以m−2 9
为首项，−2 9
为公比的等比数列，1 2
当m＝
时，{bn}不是等比数列．2 9