f(x)=x^2-2aInxcoskπ,当k=2010,f(x)=2ax有唯一解,求a 两种方法求解

由于k=2010为偶数,所以,f(x)=x^2-2alnx,又f(x)=2ax,故x^2-2alnx-2ax=x^2-2ax-2alnx=0.
上式看成x的二次方程.由于只有唯一解,所以,令λ=lnx,Δ=4a^2+8aλ=4a(a+2λ)=0.
显然当a=0或a=-2λ时有唯一解,且当a=0是唯一解为x=0；
当a=-2λ时,二次方程化为：x^2+4λx+4λlnx=x^2+4λx+4λ^2=0即,x=-2lnx=-2λ=a.
即,当a=0或a=-2λ时有唯一解,且分别为0和方程x=-2lnx的解.
如果限定a>0,则方程的唯一解即为方程x=-2lnx的解,且a必为-2lnx,虽然这个具体的x值不那么容易算,但答案是无误的,而这个方法根本不用求导.
另一种方法思考中.问题是a大于零，而且In里面的x是大于零的，如果x=-2Inx，那么x就必为负，绝对要舍去。anyway，thank youx>0不意味着lnx>0。当01时，lnx>0。这里的x0不意味着lnx>0。当01时，lnx>0。这里重给答案如下：沿用前面的方法，令g(x)=x^2-2alnx-2ax=x^2-2a(lnx+x)。因为lnx≤x-1，仅当x=1时取等号，于是lnx+x≤2x-1。即g(x)≥x^2-2a(2x-1)=(x-2a)^2+2a(1-2a)。又由于g(x)=0有唯一解，且a>0，仅当g(x)仅当x=2a时取得最小值，此时要g(x)=0，必有1-2a=0，即a=1/2，且x=1为所求唯一解。否则，又两种情况，即a0，因而g(x)>0，无解；或者，a>1/2，此时2a(1-2a)