一条直线与直二面角两个面所成的角分别是α和β,求α＋β的取值范围
问题描述：
一条直线与直二面角两个面所成的角分别是α和β,求α＋β的取值范围
答
①若此直线与两个平面都相交,则：
设线段AB夹在直二面角α-l-β内,A∈α,B∈β,且设AB与平面α、β所成的角分别为α和β,
过A在α内做AC垂直于l于C点,过B在β内做BD垂直于l于D点．
在β内做BE平行l,在β内做CE平行BD,交点为E,连接AE,AD,BC
则∠DAB=α,∠ABC=β,∠ABC的正弦值=AC/AB,∠ABD的正弦值=AD/AB
∵AD＞AC,∴∠ABC＜∠ABD,
∵∠ABD+∠DAB=90°,所以α+β＜90°
②当AB与l平行时：α+β=0°
③当AB与l垂直时：α+β=90°
综上所述：0°≤α+β≤90°
分析：这题可以从直线与平面的位置出发,分三种情况讨论：
①如果它与两个平面都相交,那么它和两个平面的角,恰是直角三角形的两个锐角．通过比较三角函数值,可以得到：α+β＜90°
②如果这直线与两个半平面都平行,那么它与两个面的角都是0°,故α+β=0°．
③如果它只与一个面垂直,那么它与一个面的角是90°,而与另一个面的角是0°,故α+β=90°．
[0,π/2]
①若此直线与两个平面都相交,则：
设线段AB夹在直二面角α-l-β内,A∈α,B∈β,且设AB与平面α、β所成的角分别为α和β,
过A在α内做AC垂直于l于C点,过B在β内做BD垂直于l于D点．
在β内做BE平行l,在β内做CE平行BD,交点为E,连接AE,AD,BC
则∠DAB=α,∠ABC=β,∠ABC的正弦值=AC/AB,∠ABD的正弦值=AD/AB
∵AD＞AC,∴∠ABC＜∠ABD,
∵∠ABD+∠DAB=90°,所以α+β＜90°
②当AB与l平行时：α+β=0°
③当AB与l垂直时：α+β=90°
综上所述：0°≤α+β≤90°
分析：这题可以从直线与平面的位置出发,分三种情况讨论：
①如果它与两个平面都相交,那么它和两个平面的角,恰是直角三角形的两个锐角．通过比较三角函数值,可以得到：α+β＜90°
②如果这直线与两个半平面都平行,那么它与两个面的角都是0°,故α+β=0°．
③如果它只与一个面垂直,那么它与一个面的角是90°,而与另一个面的角是0°,故α+β=90°．