高中数学题已知函数f(x)=(x^2/2)+alnx，g(x)=(a+1)x,其中a属于R，且a≠-1, (1)若两个函数在区间〔1，2〕上都是单调函数且单调性相同，求a取值范围 (2)设H(x)=f(x)-g(x),若α，β(α＜β且β属于(1，e])是函数H(x)的两个极致点，证明：对任意x1,x2属于[α，β]，都有|H(x1)-H(x2)|＜1成立(参考值e＝2.71828)
问题描述：
高中数学题
已知函数f(x)=(x^2/2)+alnx，g(x)=(a+1)x,其中a属于R，且a≠-1, (1)若两个函数在区间〔1，2〕上都是单调函数且单调性相同，求a取值范围 (2)设H(x)=f(x)-g(x),若α，β(α＜β且β属于(1，e])是函数H(x)的两个极致点，证明：对任意x1,x2属于[α，β]，都有|H(x1)-H(x2)|＜1成立(参考值e＝2.71828)
答
析：f(x)=(x^2/2)+alnx的导数为（x^3+a）/x
（1）由于g(x)=(a+1)x为一次函数,先从g(x)的单调性入手：
在区间〔1,2〕上,当a＞－1时g(x)递增,此时x^3+a＞0即f(x)的导数＞0,f(x)也递增,成立；
当a＜－1时g(x)递减,此时去寻找使得f(x)递减的a的值,即即(x)的导数＜0的a的值,即x^3+a＜0恒成立的a的值,即a＜－x^3在区间〔1,2〕上恒成立的a的值,所以a≤－8
综上所述,当a≤－8或a＞－1时满足要求.
（2） H(x)=f(x)-g(x)＝)=(x^2/2)+alnx－(a+1)x,则 H(x)的导数为（x^3+a－ax－x）/x
＝（x－1）（x^2＋x－a）/x,由于若α,β为H(x)的两个极值点,且0＜α＜β,所以只有α＝1,
且β为方程x^2＋x－a＝0的那一个正根（另一根必为负,舍去）当x∈（α,β）时,H(x)单调递减,当x∈（β,＋∞）时H(x)单调递增,
所以对任意x1,x2属于[α,β],都有|H(x1)-H(x2)|≤H(α)-H(β)（重要的转化!）＝H(1)-H(β)
下面只需要证明H(1)-H(β)＜1即可