平方根怎样计算

上面我们学习了查表和用计算器求平方根的方法．或许有的同学会问：不用平方根表和计算器,可不可以求出一个数的平方根呢?先一起来研究一下,怎样求 ,这里1156是四位数,所以它的算术平方根的整数部分是两位数,且易观察出其中的十位数是3．于是问题的关键在于；怎样求出它的个位数a?为此,我们从a所满足的关系式来进行分析．
根据两数和的平方公式,可以得到
1156=（30+a）2＝302＋2×30a＋a2,
所以 1156－302＝2×30a＋a2,
即 256=（3×20+a）a,
这就是说,a是这样一个正整数,它与 3×20的和,再乘以它本身,等于256．
为便于求得a,可用下面的竖式来进行计算：
根号上面的数3是平方根的十位数．将 256试除以20×3,得4．由于4与20×3的和64,与4的积等于256,4就是所求的个位数a．竖式中的余数是0,表示开方正好开尽．于是得到
1156＝342,
或
上述求平方根的方法,称为笔算开平方法,用这个方法可以求出任何正数的算术平方根,它的计算步骤如下：
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段,用撇号分开（竖式中的11’56）,分成几段,表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数,求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方,在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商（3×20除256,所得的最大整数是 4,即试商是4）；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数,试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数,就把试商减小再试（竖式中（20×3+4）×4=256,说明试商4就是平方根的第二位数）；
6．用同样的方法,继续求平方根的其他各位上的数．
如遇开不尽的情况,可根据所要求的精确度求出它的近似值．例如求 的近似值（精确到0.01）,可列出上面右边的竖式,并根据这个竖式得到
笔算开平方运算较繁,在实际中直接应用较少,但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值．
我国古代数学的成就灿烂辉煌,早在公元前一世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里,就在世界数学史上第一次介绍了上述笔算开平方法．据史料记载,国外直到公元五世纪才有对于开平方法的介绍．这表明,古代对于开方的研究我国在世界上是遥遥领先的．