D是锐角三角形ABC所在平面外一点,AD垂直平面ABC,AH垂直平面DBC,H为垂足,求证H不可能是三角形BCD的垂心.

问题描述:

D是锐角三角形ABC所在平面外一点,AD垂直平面ABC,AH垂直平面DBC,H为垂足,求证H不可能是三角形BCD的垂心.

这个可以运用反正法.
假设H是三角形BCD的垂心,则BH垂直于DC;又因为AH垂直平面DBC.则AH垂直于DC,由此可得,平面ABH垂直于线DC,则AB垂直于DC.已知AD垂直平面ABC,可得AD垂直于AB,若果AB垂直于DC,则面ADC垂直于AB,最后得出AC垂直于AB,这明显与三角形ABC为锐角三角形矛盾,所以原假设不成立,即不可能是三角形BCD的垂心.