求一个函数的傅立叶变换
问题描述：
求一个函数的傅立叶变换
x(t) = Abs[Sin[t]] = |sin(t)|
求这个函数的傅立叶变换形式X(f),
按qgq861012的方法（不过你结果不对，因为中间积化和差公式用错了），得到：
x(t) = 2/π - 4/π*∑_n=1^∞{cos(2nt)/(4n^2-1)}
所以呢，就可以得出
X(f) = 2δ(f)/π - 2/π*∑_n=1^∞{[δ(f-n/π)+δ(f+n/π)]/(4n^2-1)}
是这样的么？
答
傅立叶变换分好几种的,我只知道把它展开成傅立叶级数
因为 |sin(t)| 是偶函数 求和的不好表示暂且用＃表示“si各码”
x(t)=a0/2+＃an*cosnt
an=2/pai∫(0,pai)sintcosnt dt (0,pai)代表积分上下限
=1/pai∫(0,pai)[sin(n+1)t-cos(n-1)t] dt
然后把它分开积分
＝[－1/pai*(n+1)]*[cos(n+1)pai -1]+ [1/pai*(n-1)]*[cos(n-1)pai -1]
当n＝0,2,4,6……时
an＝-4/pai*(n^2-1)
当n＝1,3,5,7……时
an＝0
由于x(t)时一个连续函数,所以级数收敛于x(t)
于是
a0＝1/pai ∫(-pai,pai) sint dt
=1/pai ∫(0,pai) sint dt + 1/pai ∫(-pai,0) (-sint) dt
=4/pai
所以x(t)=a0/2+＃an*cosnt
=2/pai-＃[4/pai*(n^2-1)]*cosnt 负无穷