xy''+x(y')^2-y'=0,y(2)=2,y'(2)=1这个微分方程怎么解
问题描述：
xy''+x(y')^2-y'=0,y(2)=2,y'(2)=1这个微分方程怎么解
答
令u=exp(y) u'=exp(y) y' u''=exp(y)(y')²+exp(y)y''
exp(y)[xy''+x(y')²-y']=xu''-u'=0
这方程很简单了 ,解得 u=Ax²+B 其中A,B为任意常数
y=ln(u)=ln(Ax²+B) y'=2Ax/(Ax²+B)
y(2)=ln(4A+B)=2 y'(2)=4A/(4A+B)=1
解得B=0 A=e²/4
y=ln(Ax²)=ln(A)+2ln|x|=2-2ln(2)+2ln|x|