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已知函数f(x)＝4/x+9x， （1）若x＞0，求f（x）的最小值及此时的x值． （2）若x∈(0，2/5]，求f（x）的最小值及此时的x值．

分类: 作业答案 • 2022-01-13 10:10:08
问题描述：

已知函数f(x)＝

4
x
+9x，
（1）若x＞0，求f（x）的最小值及此时的x值．
（2）若x∈(0，
2
5
]，求f（x）的最小值及此时的x值．

答

（1）因为x＞0，所以由基本不等式得f(x)＝

4
x
+9x≥2
4
x
⋅9x
＝12，
当且仅当
4
x
＝9x，即x2＝
4
9
，x=
2
3
时取等号，
所以当x=
2
3
时，函数f（x）有最小值12．
（2）设0＜x1＜x2≤
2
5
，则f(x1)−f(x2)＝
4
x1
+9x1−(
4
x2
+9x2)
4(x2−x1)
x1x2
+9(x1−x2)＝(x1−x2)
9x1x2−4
x1x2
，
因为0＜x1＜x2≤
2
5
，所以x1-x20．
所以f（x1）＞f（x2），即函数在x∈(0，
2
5
]上为减函数．
所以当x=
2
5
时，函数的最小值为f(x)min＝f(
2
5
)＝
68
5
．

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