若函数f(x)=(1+cosx)10+(1-cosx)10,x∈[0,π],则其最大值等于(  ) A.2048 B.512 C.2 D.1024

问题描述:

若函数f(x)=(1+cosx)10+(1-cosx)10,x∈[0,π],则其最大值等于(  )
A. 2048
B. 512
C. 2
D. 1024

按cosx的升幂排列,(1+cosx)10=1+

C 110
cosx+
C 210
cos2x+…+
C 1010
cos10x,
(1-cosx)10=1-
C 110
cosx+
C 210
cos2x-…+
C 1010
cos10x

两者相加时,cosx的奇数次幂抵消,偶数次幂系数相同,
所以f(x)=2[1+
C 210
cos2x+
C 410
cos4x+
C 610
cos6x+
C 810
cos8x+
C 1010
cos10x
]
又x∈[0,π],则cosx偶数次幂的最大值为1,
所以f(x)最大值为:2[1+
C 210
+
C 410
+
C 610
+
C 810
+
C 1010
](1)
C 610
=
C 410
C 810
=
C 210
C 1010
=1

所以(1)式=4〔1+
C 210
+
C 410
〕=4〔1+
10×9
2
+
10×9×8×7
4×3×2
〕=1024,
故选:D.