若函数f(x)=(1+cosx)10+(1-cosx)10,x∈[0,π],则其最大值等于( ) A.2048 B.512 C.2 D.1024
问题描述:
若函数f(x)=(1+cosx)10+(1-cosx)10,x∈[0,π],则其最大值等于( )
A. 2048
B. 512
C. 2
D. 1024
答
按cosx的升幂排列,(1+cosx)10=1+
cosx+
C
110
cos2x+…+
C
210
cos10x,
C
1010
(1-cosx)10=1-
cosx+
C
110
cos2x-…+
C
210
cos10x
C
1010
两者相加时,cosx的奇数次幂抵消,偶数次幂系数相同,
所以f(x)=2[1+
cos2x+
C
210
cos4x+
C
410
cos6x+
C
610
cos8x+
C
810
cos10x]
C
1010
又x∈[0,π],则cosx偶数次幂的最大值为1,
所以f(x)最大值为:2[1+
+
C
210
+
C
410
+
C
610
+
C
810
](1)
C
1010
又
=
C
610
,
C
410
=
C
810
,
C
210
=1,
C
1010
所以(1)式=4〔1+
+
C
210
〕=4〔1+
C
410
+10×9 2
〕=1024,10×9×8×7 4×3×2
故选:D.