在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC．（1）求角A的值；（2）求3sinB−cosC的最大值．
问题描述：
在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC．
（1）求角A的值；
（2）求
sinB−cosC的最大值．
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答
（1）∵（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，
∴（sinB+sinC）2-sin2A=3sinBsinC，
∴sin2B+sin2C-sin2A-sinBsinC=0，
由正弦定理
=a sinA
=b sinB
=2R得：b2+c2-a2-bc=0，c sinC
又由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA，
∴cosA=
，角A=60°．1 2
（2）∵角A=60°，在△ABC中，A+B+C=180°，
∴B=120°-C，
∴
sinB-cosC
3
=
sin（120°-C）-cosC
3
=
（
3
cosC-（-
3
2
）sinC）-cosC1 2
=
cosC+1 2
sinC
3
2
=sin（C+
），π 6
∵C∈（0°，120°），
∴[sin(C+
)]max=1，即π 6
sinB-cosC得最大值为1．
3