如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=4. (1)判断这两个三角形是否相似并说明为什么?(2)能否分别过A,D在这两个三角形中各作一条辅助线,使△ABC分割成的两个三角形与

问题描述:

如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=4.

(1)判断这两个三角形是否相似并说明为什么?
(2)能否分别过A,D在这两个三角形中各作一条辅助线,使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似?证明你的结论.

(1)不相似.
∵在Rt△BAC中,∠A=90°,AB=3,AC=4;
在Rt△EDF中,∠D=90°,DE=3,DF=2,

AB
DF
=
3
2
AC
DE
=
4
3

AB
DF
AC
DE

∴Rt△BAC与Rt△DFE不相似.
(2)能作如图所示的辅助线进行分割.
证明:作∠BAM=∠E,交BC于M;作∠NDE=∠B,交EF于N.
由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN.
∵∠BAM=∠E,∠NDE=∠B,∠AMC=∠BAM+∠B,∠FND=∠E+∠NDE,
∴∠AMC=∠FND.
∵∠FDN=90°-∠NDE,∠C=90°-∠B,
∴∠FDN=∠C.
∴△AMC∽△FND.