答
(1)证明:过F作FG⊥AB于G,
∵AF平分∠CAB,FO⊥AC,FG⊥AB,
∴OF=FG,
∵∠AOF=∠AGF=90°,AF=AF,OF=FG,
∴△AOF≌△AGF,
∴AO=AG,
直角三角形BGF中,∠DBA=45°,
∴FG=BG=OF,
∴AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF,
∴AB-OF=AC.
(2)过F1作F1G1⊥A1B,过F1作F1H1⊥BC1,则四边形F1G1BH1是矩形.
同(1)可得EF1=F1G,因此四边形F1G1BH1是正方形.
∴EF1=G1F1=F1H1,
即:F1是三角形A1BC1的内心,
∴EF1=(A1B+BC1-A1C1)÷2…①
∵A1B+BC1=AB+A1A+BC-CC1,而CC1=A1A,
∴A1B+BC1=2AB,
因此①式可写成:EF1=(2AB-A1C1)÷2,
即AB-EF1=A1C1.
(3)由(2)得,F1是三角形A1BC1的内心,且E1、G1、H1都是切点.
∴A1E=(A1C1+A1B-BC1)÷2,
如果设CC1=A1A=x,
A1E=[A1C1+(AB+x)-(AB-x)]÷2=(10+2x)÷2=6,
∴x=1,
在直角三角形A1BC1中,根据勾股定理有A1B2+BC12=AC12,
即:(AB+1)2+(AB-1)2=100,
解得AB=7,
∴BD=7.