某计算装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数中的各数依次输入A口，从B口分别得到输出的数．结果表明： ①从A口输入n=1时，从B口得到a1=1/3； ②当n≥2时，从A口输入n，从B
问题描述：
某计算装置有一个数据入口A和一个运算结果的出口B，将自然数中的各数依次输入A口，从B口分别得到输出的数．结果表明：
①从A口输入n=1时，从B口得到a1=
；1 3
②当n≥2时，从A口输入n，从B口得到的结果是将前一结果an-1先乘以自然数中和第n-1个奇数再除以自然数中和第n+1个奇数，
试问：（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2）从A口输入2008时，从B口得到什么数？
（3）求：a1+a2+a3…+a2008的值．
答
（1）由题意知：a2=a1×
=1 5
×1 3
=1 5
×1 2×2−1
=1 2×2+1
，1 15
a3=
×1 2×3−1
=1 2×3+1
；1 35
（2）观察（1）的规律可得：a2008=
×1 4015
=1 4017
；1 16128255
（3）找出一般形式为：an=
（1 2
-1 2n−1
），1 2n+1
∴a1+a2+a3+a2008=
（1 2
-1 1
+1 3
-1 3
+…-1 5
）=1 4017
×1 2
=4016 4017
．2008 4017