已知m∈R,设p:不等式|m2-5m-3|≥3;q:函数f(x)=x3+mx2+(m+4/3)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使p且q为真命题的m的取值范围.

问题描述:

已知m∈R,设p:不等式|m2-5m-3|≥3;q:函数f(x)=x3+mx2+(m+

4
3
)x+6在(-∞,+∞)上有极值.求使p且q为真命题的m的取值范围.

由已知不等式得
m2-5m-3≤-3①
或m2-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5;
不等式②的解为m≤-1或m≥6.
所以,当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,p为真命题.
对函数f(x)=x3+mx2+(m+

4
3
)x+6求导得,
f′(x)=3x2+2mx+m+
4
3

令f′(x)=0,即3x2+2mx+m+
4
3
=0,
当且仅当△>0时,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极值.
由△=4m2-12m-16>0得m<-1或m>4,
所以,当m<-1或m>4时,q为真命题.
综上所述,使p且q为真命题时,实数m的取值范围为
(-∞,-1)∪(4,5]∪[6,+∞).